3.335 \(\int \frac {\cos ^2(c+d x) (A+B \sec (c+d x))}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=393 \[ \frac {b (A b-a B) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {x \left (a^2 A-6 a b B+12 A b^2\right )}{2 a^5}+\frac {b \left (-5 a^3 B+7 a^2 A b+2 a b^2 B-4 A b^3\right ) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\left (a^4 A+6 a^3 b B-10 a^2 A b^2-3 a b^3 B+6 A b^4\right ) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac {\left (-2 a^5 B+6 a^4 A b+11 a^3 b^2 B-21 a^2 A b^3-6 a b^4 B+12 A b^5\right ) \sin (c+d x)}{2 a^4 d \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac {b^2 \left (-12 a^5 B+20 a^4 A b+15 a^3 b^2 B-29 a^2 A b^3-6 a b^4 B+12 A b^5\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 d (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2}} \]

[Out]

1/2*(A*a^2+12*A*b^2-6*B*a*b)*x/a^5-b^2*(20*A*a^4*b-29*A*a^2*b^3+12*A*b^5-12*B*a^5+15*B*a^3*b^2-6*B*a*b^4)*arct
anh((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/a^5/(a-b)^(5/2)/(a+b)^(5/2)/d-1/2*(6*A*a^4*b-21*A*a^2*b^3+12*A
*b^5-2*B*a^5+11*B*a^3*b^2-6*B*a*b^4)*sin(d*x+c)/a^4/(a^2-b^2)^2/d+1/2*(A*a^4-10*A*a^2*b^2+6*A*b^4+6*B*a^3*b-3*
B*a*b^3)*cos(d*x+c)*sin(d*x+c)/a^3/(a^2-b^2)^2/d+1/2*b*(A*b-B*a)*cos(d*x+c)*sin(d*x+c)/a/(a^2-b^2)/d/(a+b*sec(
d*x+c))^2+1/2*b*(7*A*a^2*b-4*A*b^3-5*B*a^3+2*B*a*b^2)*cos(d*x+c)*sin(d*x+c)/a^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*sec(d*x+c))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.00, antiderivative size = 393, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 7, integrand size = 31, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.226, Rules used = {4030, 4100, 4104, 3919, 3831, 2659, 208} \[ -\frac {\left (-21 a^2 A b^3+6 a^4 A b+11 a^3 b^2 B-2 a^5 B-6 a b^4 B+12 A b^5\right ) \sin (c+d x)}{2 a^4 d \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac {\left (-10 a^2 A b^2+a^4 A+6 a^3 b B-3 a b^3 B+6 A b^4\right ) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac {b^2 \left (-29 a^2 A b^3+20 a^4 A b+15 a^3 b^2 B-12 a^5 B-6 a b^4 B+12 A b^5\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 d (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2}}+\frac {b \left (7 a^2 A b-5 a^3 B+2 a b^2 B-4 A b^3\right ) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \sec (c+d x))}+\frac {b (A b-a B) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {x \left (a^2 A-6 a b B+12 A b^2\right )}{2 a^5} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^3,x]

[Out]

((a^2*A + 12*A*b^2 - 6*a*b*B)*x)/(2*a^5) - (b^2*(20*a^4*A*b - 29*a^2*A*b^3 + 12*A*b^5 - 12*a^5*B + 15*a^3*b^2*
B - 6*a*b^4*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - ((6*
a^4*A*b - 21*a^2*A*b^3 + 12*A*b^5 - 2*a^5*B + 11*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^2*d)
+ ((a^4*A - 10*a^2*A*b^2 + 6*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 3*a*b^3*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d)
+ (b*(A*b - a*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b*(7*a^2*A*b - 4*A*
b^3 - 5*a^3*B + 2*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rule 2659

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[(2*e)/d, Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3831

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Dist[1/b, Int[1/(1 + (a*Sin[e
+ f*x])/b), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3919

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[(c*x)/a,
x] - Dist[(b*c - a*d)/a, Int[Csc[e + f*x]/(a + b*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[
b*c - a*d, 0]

Rule 4030

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
(B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(b*(A*b - a*B)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^n)/
(a*f*(m + 1)*(a^2 - b^2)), x] + Dist[1/(a*(m + 1)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*
x])^n*Simp[A*(a^2*(m + 1) - b^2*(m + n + 1)) + a*b*B*n - a*(A*b - a*B)*(m + 1)*Csc[e + f*x] + b*(A*b - a*B)*(m
+ n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b
^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[m + 1/2, 0] && ILtQ[n, 0])

Rule 4100

Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[((A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Cot[e + f*x]*(a +
b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^n)/(a*f*(m + 1)*(a^2 - b^2)), x] + Dist[1/(a*(m + 1)*(a^2 - b^2)), I
nt[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^n*Simp[a*(a*A - b*B + a*C)*(m + 1) - (A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*
(m + n + 1) - a*(A*b - a*B + b*C)*(m + 1)*Csc[e + f*x] + (A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x
], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[m + 1/2, 0] &
& ILtQ[n, 0])

Rule 4104

Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m +
1)*(d*Csc[e + f*x])^n)/(a*f*n), x] + Dist[1/(a*d*n), Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[
a*B*n - A*b*(m + n + 1) + a*(A + A*n + C*n)*Csc[e + f*x] + A*b*(m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ
[{a, b, d, e, f, A, B, C, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LeQ[n, -1]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\cos ^2(c+d x) (A+B \sec (c+d x))}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx &=\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}-\frac {\int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (-2 \left (a^2 A-2 A b^2+a b B\right )+2 a (A b-a B) \sec (c+d x)-3 b (A b-a B) \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^2} \, dx}{2 a \left (a^2-b^2\right )}\\ &=\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (2 \left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right )-a \left (4 a^2 A b-A b^3-2 a^3 B-a b^2 B\right ) \sec (c+d x)+2 b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \sec ^2(c+d x)\right )}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2}\\ &=\frac {\left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\int \frac {\cos (c+d x) \left (2 \left (6 a^4 A b-21 a^2 A b^3+12 A b^5-2 a^5 B+11 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right )-2 a \left (a^4 A+4 a^2 A b^2-2 A b^4-4 a^3 b B+a b^3 B\right ) \sec (c+d x)-2 b \left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \sec ^2(c+d x)\right )}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{4 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2}\\ &=-\frac {\left (6 a^4 A b-21 a^2 A b^3+12 A b^5-2 a^5 B+11 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\int \frac {2 \left (a^2-b^2\right )^2 \left (a^2 A+12 A b^2-6 a b B\right )+2 a b \left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \sec (c+d x)}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{4 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2}\\ &=\frac {\left (a^2 A+12 A b^2-6 a b B\right ) x}{2 a^5}-\frac {\left (6 a^4 A b-21 a^2 A b^3+12 A b^5-2 a^5 B+11 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (b^2 \left (20 a^4 A b-29 a^2 A b^3+12 A b^5-12 a^5 B+15 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right )\right ) \int \frac {\sec (c+d x)}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{2 a^5 \left (a^2-b^2\right )^2}\\ &=\frac {\left (a^2 A+12 A b^2-6 a b B\right ) x}{2 a^5}-\frac {\left (6 a^4 A b-21 a^2 A b^3+12 A b^5-2 a^5 B+11 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (b \left (20 a^4 A b-29 a^2 A b^3+12 A b^5-12 a^5 B+15 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right )\right ) \int \frac {1}{1+\frac {a \cos (c+d x)}{b}} \, dx}{2 a^5 \left (a^2-b^2\right )^2}\\ &=\frac {\left (a^2 A+12 A b^2-6 a b B\right ) x}{2 a^5}-\frac {\left (6 a^4 A b-21 a^2 A b^3+12 A b^5-2 a^5 B+11 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (b \left (20 a^4 A b-29 a^2 A b^3+12 A b^5-12 a^5 B+15 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right )\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{1+\frac {a}{b}+\left (1-\frac {a}{b}\right ) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^5 \left (a^2-b^2\right )^2 d}\\ &=\frac {\left (a^2 A+12 A b^2-6 a b B\right ) x}{2 a^5}-\frac {b^2 \left (20 a^4 A b-29 a^2 A b^3+12 A b^5-12 a^5 B+15 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2} d}-\frac {\left (6 a^4 A b-21 a^2 A b^3+12 A b^5-2 a^5 B+11 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 4.69, size = 734, normalized size = 1.87 \[ \frac {\frac {16 b^2 \left (-12 a^5 B+20 a^4 A b+15 a^3 b^2 B-29 a^2 A b^3-6 a b^4 B+12 A b^5\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {(b-a) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a^2-b^2}}\right )}{\left (a^2-b^2\right )^{5/2}}+\frac {2 a^8 A \sin (2 (c+d x))+a^8 A \sin (4 (c+d x))+4 a^8 A c+4 a^8 A d x+4 a^8 B \sin (c+d x)+4 a^8 B \sin (3 (c+d x))-8 a^7 A b \sin (c+d x)-8 a^7 A b \sin (3 (c+d x))+16 a^7 b B \sin (2 (c+d x))-24 a^7 b B c-24 a^7 b B d x-48 a^6 A b^2 \sin (2 (c+d x))-2 a^6 A b^2 \sin (4 (c+d x))+48 a^6 A b^2 c+48 a^6 A b^2 d x+8 a^6 b^2 B \sin (c+d x)-8 a^6 b^2 B \sin (3 (c+d x))-32 a^5 A b^3 \sin (c+d x)+16 a^5 A b^3 \sin (3 (c+d x))-64 a^5 b^3 B \sin (2 (c+d x))+130 a^4 A b^4 \sin (2 (c+d x))+a^4 A b^4 \sin (4 (c+d x))-12 a^4 A b^4 c-12 a^4 A b^4 d x-84 a^4 b^4 B \sin (c+d x)+4 a^4 b^4 B \sin (3 (c+d x))+160 a^3 A b^5 \sin (c+d x)-8 a^3 A b^5 \sin (3 (c+d x))+36 a^3 b^5 B \sin (2 (c+d x))+72 a^3 b^5 B c+72 a^3 b^5 B d x-72 a^2 A b^6 \sin (2 (c+d x))-136 a^2 A b^6 c-136 a^2 A b^6 d x+16 a b \left (a^2-b^2\right )^2 (c+d x) \left (a^2 A-6 a b B+12 A b^2\right ) \cos (c+d x)+48 a^2 b^6 B \sin (c+d x)+4 \left (a^3-a b^2\right )^2 (c+d x) \left (a^2 A-6 a b B+12 A b^2\right ) \cos (2 (c+d x))-96 a A b^7 \sin (c+d x)-48 a b^7 B c-48 a b^7 B d x+96 A b^8 c+96 A b^8 d x}{\left (a^2-b^2\right )^2 (a \cos (c+d x)+b)^2}}{16 a^5 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^3,x]

[Out]

((16*b^2*(20*a^4*A*b - 29*a^2*A*b^3 + 12*A*b^5 - 12*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*ArcTanh[((-a + b)*Tan[(c
+ d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2) + (4*a^8*A*c + 48*a^6*A*b^2*c - 12*a^4*A*b^4*c - 136*a^2*A*b^6
*c + 96*A*b^8*c - 24*a^7*b*B*c + 72*a^3*b^5*B*c - 48*a*b^7*B*c + 4*a^8*A*d*x + 48*a^6*A*b^2*d*x - 12*a^4*A*b^4
*d*x - 136*a^2*A*b^6*d*x + 96*A*b^8*d*x - 24*a^7*b*B*d*x + 72*a^3*b^5*B*d*x - 48*a*b^7*B*d*x + 16*a*b*(a^2 - b
^2)^2*(a^2*A + 12*A*b^2 - 6*a*b*B)*(c + d*x)*Cos[c + d*x] + 4*(a^3 - a*b^2)^2*(a^2*A + 12*A*b^2 - 6*a*b*B)*(c
+ d*x)*Cos[2*(c + d*x)] - 8*a^7*A*b*Sin[c + d*x] - 32*a^5*A*b^3*Sin[c + d*x] + 160*a^3*A*b^5*Sin[c + d*x] - 96
*a*A*b^7*Sin[c + d*x] + 4*a^8*B*Sin[c + d*x] + 8*a^6*b^2*B*Sin[c + d*x] - 84*a^4*b^4*B*Sin[c + d*x] + 48*a^2*b
^6*B*Sin[c + d*x] + 2*a^8*A*Sin[2*(c + d*x)] - 48*a^6*A*b^2*Sin[2*(c + d*x)] + 130*a^4*A*b^4*Sin[2*(c + d*x)]
- 72*a^2*A*b^6*Sin[2*(c + d*x)] + 16*a^7*b*B*Sin[2*(c + d*x)] - 64*a^5*b^3*B*Sin[2*(c + d*x)] + 36*a^3*b^5*B*S
in[2*(c + d*x)] - 8*a^7*A*b*Sin[3*(c + d*x)] + 16*a^5*A*b^3*Sin[3*(c + d*x)] - 8*a^3*A*b^5*Sin[3*(c + d*x)] +
4*a^8*B*Sin[3*(c + d*x)] - 8*a^6*b^2*B*Sin[3*(c + d*x)] + 4*a^4*b^4*B*Sin[3*(c + d*x)] + a^8*A*Sin[4*(c + d*x)
] - 2*a^6*A*b^2*Sin[4*(c + d*x)] + a^4*A*b^4*Sin[4*(c + d*x)])/((a^2 - b^2)^2*(b + a*Cos[c + d*x])^2))/(16*a^5
*d)

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.70, size = 1811, normalized size = 4.61 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+B*sec(d*x+c))/(a+b*sec(d*x+c))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(2*(A*a^10 - 6*B*a^9*b + 9*A*a^8*b^2 + 18*B*a^7*b^3 - 33*A*a^6*b^4 - 18*B*a^5*b^5 + 35*A*a^4*b^6 + 6*B*a^
3*b^7 - 12*A*a^2*b^8)*d*x*cos(d*x + c)^2 + 4*(A*a^9*b - 6*B*a^8*b^2 + 9*A*a^7*b^3 + 18*B*a^6*b^4 - 33*A*a^5*b^
5 - 18*B*a^4*b^6 + 35*A*a^3*b^7 + 6*B*a^2*b^8 - 12*A*a*b^9)*d*x*cos(d*x + c) + 2*(A*a^8*b^2 - 6*B*a^7*b^3 + 9*
A*a^6*b^4 + 18*B*a^5*b^5 - 33*A*a^4*b^6 - 18*B*a^3*b^7 + 35*A*a^2*b^8 + 6*B*a*b^9 - 12*A*b^10)*d*x - (12*B*a^5
*b^4 - 20*A*a^4*b^5 - 15*B*a^3*b^6 + 29*A*a^2*b^7 + 6*B*a*b^8 - 12*A*b^9 + (12*B*a^7*b^2 - 20*A*a^6*b^3 - 15*B
*a^5*b^4 + 29*A*a^4*b^5 + 6*B*a^3*b^6 - 12*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c)^2 + 2*(12*B*a^6*b^3 - 20*A*a^5*b^4 - 15*B*a
^4*b^5 + 29*A*a^3*b^6 + 6*B*a^2*b^7 - 12*A*a*b^8)*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) - (a^2
- 2*b^2)*cos(d*x + c)^2 - 2*sqrt(a^2 - b^2)*(b*cos(d*x + c) + a)*sin(d*x + c) + 2*a^2 - b^2)/(a^2*cos(d*x + c
)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + b^2)) + 2*(2*B*a^8*b^2 - 6*A*a^7*b^3 - 13*B*a^6*b^4 + 27*A*a^5*b^5 + 17*B*a^4*b^6 -
33*A*a^3*b^7 - 6*B*a^2*b^8 + 12*A*a*b^9 + (A*a^10 - 3*A*a^8*b^2 + 3*A*a^6*b^4 - A*a^4*b^6)*cos(d*x + c)^3 + 2
*(B*a^10 - 2*A*a^9*b - 3*B*a^8*b^2 + 6*A*a^7*b^3 + 3*B*a^6*b^4 - 6*A*a^5*b^5 - B*a^4*b^6 + 2*A*a^3*b^7)*cos(d*
x + c)^2 + (4*B*a^9*b - 11*A*a^8*b^2 - 20*B*a^7*b^3 + 43*A*a^6*b^4 + 25*B*a^5*b^5 - 50*A*a^4*b^6 - 9*B*a^3*b^7
+ 18*A*a^2*b^8)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^13 - 3*a^11*b^2 + 3*a^9*b^4 - a^7*b^6)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(
a^12*b - 3*a^10*b^3 + 3*a^8*b^5 - a^6*b^7)*d*cos(d*x + c) + (a^11*b^2 - 3*a^9*b^4 + 3*a^7*b^6 - a^5*b^8)*d), 1
/2*((A*a^10 - 6*B*a^9*b + 9*A*a^8*b^2 + 18*B*a^7*b^3 - 33*A*a^6*b^4 - 18*B*a^5*b^5 + 35*A*a^4*b^6 + 6*B*a^3*b^
7 - 12*A*a^2*b^8)*d*x*cos(d*x + c)^2 + 2*(A*a^9*b - 6*B*a^8*b^2 + 9*A*a^7*b^3 + 18*B*a^6*b^4 - 33*A*a^5*b^5 -
18*B*a^4*b^6 + 35*A*a^3*b^7 + 6*B*a^2*b^8 - 12*A*a*b^9)*d*x*cos(d*x + c) + (A*a^8*b^2 - 6*B*a^7*b^3 + 9*A*a^6*
b^4 + 18*B*a^5*b^5 - 33*A*a^4*b^6 - 18*B*a^3*b^7 + 35*A*a^2*b^8 + 6*B*a*b^9 - 12*A*b^10)*d*x + (12*B*a^5*b^4 -
20*A*a^4*b^5 - 15*B*a^3*b^6 + 29*A*a^2*b^7 + 6*B*a*b^8 - 12*A*b^9 + (12*B*a^7*b^2 - 20*A*a^6*b^3 - 15*B*a^5*b
^4 + 29*A*a^4*b^5 + 6*B*a^3*b^6 - 12*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c)^2 + 2*(12*B*a^6*b^3 - 20*A*a^5*b^4 - 15*B*a^4*b^5
+ 29*A*a^3*b^6 + 6*B*a^2*b^7 - 12*A*a*b^8)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*arctan(-sqrt(-a^2 + b^2)*(b*cos(d*x
+ c) + a)/((a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) + (2*B*a^8*b^2 - 6*A*a^7*b^3 - 13*B*a^6*b^4 + 27*A*a^5*b^5 + 17*B*a^4*b
^6 - 33*A*a^3*b^7 - 6*B*a^2*b^8 + 12*A*a*b^9 + (A*a^10 - 3*A*a^8*b^2 + 3*A*a^6*b^4 - A*a^4*b^6)*cos(d*x + c)^3
+ 2*(B*a^10 - 2*A*a^9*b - 3*B*a^8*b^2 + 6*A*a^7*b^3 + 3*B*a^6*b^4 - 6*A*a^5*b^5 - B*a^4*b^6 + 2*A*a^3*b^7)*co
s(d*x + c)^2 + (4*B*a^9*b - 11*A*a^8*b^2 - 20*B*a^7*b^3 + 43*A*a^6*b^4 + 25*B*a^5*b^5 - 50*A*a^4*b^6 - 9*B*a^3
*b^7 + 18*A*a^2*b^8)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^13 - 3*a^11*b^2 + 3*a^9*b^4 - a^7*b^6)*d*cos(d*x + c)^2 +
2*(a^12*b - 3*a^10*b^3 + 3*a^8*b^5 - a^6*b^7)*d*cos(d*x + c) + (a^11*b^2 - 3*a^9*b^4 + 3*a^7*b^6 - a^5*b^8)*d
)]

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 0.79, size = 2700, normalized size = 6.87 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+B*sec(d*x+c))/(a+b*sec(d*x+c))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/2*(((a^6 - a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 - 23*a^2*b^4 - 6*a*b^5 + 12*b^6)*sqrt(-a^2 + b^2)*A*abs(a^9 - 2*
a^7*b^2 + a^5*b^4)*abs(-a + b) - 3*(2*a^5*b + 2*a^4*b^2 - 4*a^3*b^3 - a^2*b^4 + 2*a*b^5)*sqrt(-a^2 + b^2)*B*ab
s(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)*abs(-a + b) - (a^15 - a^14*b + 8*a^13*b^2 - 28*a^12*b^3 - 42*a^11*b^4 + 111*a^10*
b^5 + 68*a^9*b^6 - 158*a^8*b^7 - 47*a^7*b^8 + 100*a^6*b^9 + 12*a^5*b^10 - 24*a^4*b^11)*sqrt(-a^2 + b^2)*A*abs(
-a + b) + 3*(2*a^14*b - 6*a^13*b^2 - 8*a^12*b^3 + 21*a^11*b^4 + 12*a^10*b^5 - 28*a^9*b^6 - 8*a^8*b^7 + 17*a^7*
b^8 + 2*a^6*b^9 - 4*a^5*b^10)*sqrt(-a^2 + b^2)*B*abs(-a + b))*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2) + arctan(tan(1
/2*d*x + 1/2*c)/sqrt(-(a^8*b - 2*a^6*b^3 + a^4*b^5 + sqrt((a^9 + a^8*b - 2*a^7*b^2 - 2*a^6*b^3 + a^5*b^4 + a^4
*b^5)*(a^9 - a^8*b - 2*a^7*b^2 + 2*a^6*b^3 + a^5*b^4 - a^4*b^5) + (a^8*b - 2*a^6*b^3 + a^4*b^5)^2))/(a^9 - a^8
*b - 2*a^7*b^2 + 2*a^6*b^3 + a^5*b^4 - a^4*b^5))))/((a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)^2*(a^2 - 2*a*b + b^2) + (a^10*
b - 2*a^9*b^2 - a^8*b^3 + 4*a^7*b^4 - a^6*b^5 - 2*a^5*b^6 + a^4*b^7)*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)) + (A*a^15
- A*a^14*b - 6*B*a^14*b + 8*A*a^13*b^2 + 18*B*a^13*b^2 - 28*A*a^12*b^3 + 24*B*a^12*b^3 - 42*A*a^11*b^4 - 63*B
*a^11*b^4 + 111*A*a^10*b^5 - 36*B*a^10*b^5 + 68*A*a^9*b^6 + 84*B*a^9*b^6 - 158*A*a^8*b^7 + 24*B*a^8*b^7 - 47*A
*a^7*b^8 - 51*B*a^7*b^8 + 100*A*a^6*b^9 - 6*B*a^6*b^9 + 12*A*a^5*b^10 + 12*B*a^5*b^10 - 24*A*a^4*b^11 + A*a^6*
abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - A*a^5*b*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - 6*B*a^5*b*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*
b^4) + 10*A*a^4*b^2*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - 6*B*a^4*b^2*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) + 10*A*a^3*b^3
*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) + 12*B*a^3*b^3*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - 23*A*a^2*b^4*abs(a^9 - 2*a^7*b
^2 + a^5*b^4) + 3*B*a^2*b^4*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - 6*A*a*b^5*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - 6*B*a*
b^5*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) + 12*A*b^6*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4))*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2
) + arctan(tan(1/2*d*x + 1/2*c)/sqrt(-(a^8*b - 2*a^6*b^3 + a^4*b^5 - sqrt((a^9 + a^8*b - 2*a^7*b^2 - 2*a^6*b^3
+ a^5*b^4 + a^4*b^5)*(a^9 - a^8*b - 2*a^7*b^2 + 2*a^6*b^3 + a^5*b^4 - a^4*b^5) + (a^8*b - 2*a^6*b^3 + a^4*b^5
)^2))/(a^9 - a^8*b - 2*a^7*b^2 + 2*a^6*b^3 + a^5*b^4 - a^4*b^5))))/(a^8*b*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - 2*a
^6*b^3*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) + a^4*b^5*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - (a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)^2
) + 2*(A*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 2*B*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 4*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 4*B*
a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 13*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 2*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 2*A*
a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 16*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 33*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 9
*B*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 17*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 9*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 -
18*A*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 6*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 12*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 3*A*
a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 2*B*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 4*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 4*B*a^6*b*tan
(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 5*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 10*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 26*A*a^4*b^3*
tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 16*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 29*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 35*B*a^3*
b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 67*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 9*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 18*A*a
*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 18*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 36*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 3*A*a^7*ta
n(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 2*B*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 4*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 4*B*a^6*b*tan(1/2*d
*x + 1/2*c)^3 + 5*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 10*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 26*A*a^4*b^3*tan(1/
2*d*x + 1/2*c)^3 + 16*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 29*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 35*B*a^3*b^4*ta
n(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 67*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 9*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 18*A*a*b^6*t
an(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 18*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 36*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - A*a^7*tan(1/2*d*
x + 1/2*c) - 2*B*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 4*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 4*B*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) +
13*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 2*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 2*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 16*B
*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 33*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 9*B*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 17*A*a^
2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 9*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 18*A*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 6*B*a*b^6*ta
n(1/2*d*x + 1/2*c) + 12*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^8 - 2*a^6*b^2 + a^4*b^4)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4 - b
*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4 - 2*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - a - b)^2))/d

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 1.32, size = 1552, normalized size = 3.95 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(d*x+c)^2*(A+B*sec(d*x+c))/(a+b*sec(d*x+c))^3,x)

[Out]

10/d/a^2/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b-a-b)^2*b^4/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*A-10/d/a^2
/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b-a-b)^2*b^4/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*A+6/d*b^
6/a^4/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b-a-b)^2/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*A-4/d*b
^5/a^3/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b-a-b)^2/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*B-6/d*
b^6/a^4/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b-a-b)^2/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*A+4/d*b^5/a^3/(
a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b-a-b)^2/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*B-1/d/a^3/(1+tan(1/2*d*x
+1/2*c)^2)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*A+1/d/a^3*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))*A-1/d*b^5/a^3/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-t
an(1/2*d*x+1/2*c)^2*b-a-b)^2/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*A+8/d*b^3/a/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-ta
n(1/2*d*x+1/2*c)^2*b-a-b)^2/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*B+1/d*b^4/a^2/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-t
an(1/2*d*x+1/2*c)^2*b-a-b)^2/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*B-1/d*b^5/a^3/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-
tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b-a-b)^2/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*A-8/d*b^3/a/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x
+1/2*c)^2*b-a-b)^2/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*B+1/d*b^4/a^2/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2
*b-a-b)^2/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*B+12/d/a^5*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))*A*b^2-6/d/a^4*arctan(tan(1/2*
d*x+1/2*c))*B*b+2/d/a^3/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*B*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3+1/d/a^3/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*A
*tan(1/2*d*x+1/2*c)+2/d/a^3/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*B*tan(1/2*d*x+1/2*c)-12/d*b^7/a^5/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/(
(a-b)*(a+b))^(1/2)*arctanh(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*A-15/d*b^4/a^2/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((
a-b)*(a+b))^(1/2)*arctanh(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*B+6/d*b^6/a^4/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-
b)*(a+b))^(1/2)*arctanh(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*B-20/d/a/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-b)*(a+b
))^(1/2)*arctanh(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*A*b^3+29/d/a^3/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-b)*(a+b)
)^(1/2)*arctanh(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*A*b^5+12/d/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-b)*(a+b))^(1/
2)*arctanh(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*b^2*B-6/d/a^4/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*tan(1/2*d*x+
1/2*c)^3*A*b-6/d/a^4/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*A*b

________________________________________________________________________________________

maxima [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Exception raised: ValueError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+B*sec(d*x+c))/(a+b*sec(d*x+c))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*a^2-4*b^2>0)', see `assume?`
for more details)Is 4*a^2-4*b^2 positive or negative?

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 14.17, size = 10586, normalized size = 26.94 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((cos(c + d*x)^2*(A + B/cos(c + d*x)))/(a + b/cos(c + d*x))^3,x)

[Out]

((tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(3*A*a^7 - 36*A*b^7 - 2*B*a^7 + 67*A*a^2*b^5 - 29*A*a^3*b^4 - 26*A*a^4*b^3 + 5*A*a^5*b^
2 - 9*B*a^2*b^5 - 35*B*a^3*b^4 + 16*B*a^4*b^3 + 10*B*a^5*b^2 + 18*A*a*b^6 + 4*A*a^6*b + 18*B*a*b^6 - 4*B*a^6*b
))/((a + b)^2*(a^6 - 2*a^5*b + a^4*b^2)) - (tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(3*A*a^7 + 36*A*b^7 + 2*B*a^7 - 67*A*a^2*b^5
- 29*A*a^3*b^4 + 26*A*a^4*b^3 + 5*A*a^5*b^2 - 9*B*a^2*b^5 + 35*B*a^3*b^4 + 16*B*a^4*b^3 - 10*B*a^5*b^2 + 18*A*
a*b^6 - 4*A*a^6*b - 18*B*a*b^6 - 4*B*a^6*b))/((a + b)^2*(a^6 - 2*a^5*b + a^4*b^2)) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^7*(A*
a^6 - 12*A*b^6 - 2*B*a^6 + 23*A*a^2*b^4 - 10*A*a^3*b^3 - 8*A*a^4*b^2 - 3*B*a^2*b^4 - 12*B*a^3*b^3 + 4*B*a^4*b^
2 + 6*A*a*b^5 + 5*A*a^5*b + 6*B*a*b^5 + 2*B*a^5*b))/((a^4*b - a^5)*(a + b)^2) + (tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*a^6 - 1
2*A*b^6 + 2*B*a^6 + 23*A*a^2*b^4 + 10*A*a^3*b^3 - 8*A*a^4*b^2 + 3*B*a^2*b^4 - 12*B*a^3*b^3 - 4*B*a^4*b^2 - 6*A
*a*b^5 - 5*A*a^5*b + 6*B*a*b^5 + 2*B*a^5*b))/((a + b)*(a^6 - 2*a^5*b + a^4*b^2)))/(d*(2*a*b - tan(c/2 + (d*x)/
2)^4*(2*a^2 - 6*b^2) + tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(4*a*b + 4*b^2) - tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(4*a*b - 4*b^2) + tan(c/2 +
(d*x)/2)^8*(a^2 - 2*a*b + b^2) + a^2 + b^2)) + (atan(((((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 - 288*
A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827
*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2
*a^12*b^2 + 72*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 - 288*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 + 441*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2
*a^7*b^7 - 288*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 + 36*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2*a^12*b^2 - 288*A*B*a
*b^13 - 12*A*B*a^13*b + 288*A*B*a^2*b^12 + 1128*A*B*a^3*b^11 - 1128*A*B*a^4*b^10 - 1650*A*B*a^5*b^9 + 1632*A*B
*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 - 1008*A*B*a^8*b^6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 192*A*B*a^10*b^4 - 108*A*B*a^11*b^3 + 24*A*B*
a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) + (((4*(4*A
*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 +
276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 + 24*B*a^11*b^10 - 12*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*
b^8 + 48*B*a^14*b^7 + 192*B*a^15*b^6 - 84*B*a^16*b^5 - 156*B*a^17*b^4 + 72*B*a^18*b^3 + 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a
^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (4*tan(c/2
+ (d*x)/2)*(A*a^2*1i + A*b^2*12i - B*a*b*6i)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7
- 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^
6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(A*a^2*1i + A*b^2*12i - B*a*b*6i))/(2*a^5))*(A*a^2*1i
+ A*b^2*12i - B*a*b*6i)*1i)/(2*a^5) + (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A
^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 8
72*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 72*B
^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 - 288*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 + 441*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 - 288*B
^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 + 36*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2*a^12*b^2 - 288*A*B*a*b^13 - 12*A*B*a
^13*b + 288*A*B*a^2*b^12 + 1128*A*B*a^3*b^11 - 1128*A*B*a^4*b^10 - 1650*A*B*a^5*b^9 + 1632*A*B*a^6*b^8 + 984*A
*B*a^7*b^7 - 1008*A*B*a^8*b^6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 192*A*B*a^10*b^4 - 108*A*B*a^11*b^3 + 24*A*B*a^12*b^2))/(a^14
*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) - (((4*(4*A*a^21 - 48*A*a^1
0*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 -
120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 + 24*B*a^11*b^10 - 12*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*b^8 + 48*B*a^14*
b^7 + 192*B*a^15*b^6 - 84*B*a^16*b^5 - 156*B*a^17*b^4 + 72*B*a^18*b^3 + 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a^20*b))/(a^18*b
+ a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) + (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*a
^2*1i + A*b^2*12i - B*a*b*6i)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 +
48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 +
3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(A*a^2*1i + A*b^2*12i - B*a*b*6i))/(2*a^5))*(A*a^2*1i + A*b^2*12i - B
*a*b*6i)*1i)/(2*a^5))/((8*(1728*A^3*b^15 - 864*A^3*a*b^14 - 7344*A^3*a^2*b^13 + 3456*A^3*a^3*b^12 + 11700*A^3*
a^4*b^11 - 4770*A^3*a^5*b^10 - 7829*A^3*a^6*b^9 + 2326*A^3*a^7*b^8 + 1314*A^3*a^8*b^7 - 11*A^3*a^9*b^6 + 411*A
^3*a^10*b^5 - 20*A^3*a^11*b^4 + 20*A^3*a^12*b^3 - 216*B^3*a^3*b^12 + 108*B^3*a^4*b^11 + 972*B^3*a^5*b^10 - 486
*B^3*a^6*b^9 - 1728*B^3*a^7*b^8 + 756*B^3*a^8*b^7 + 1404*B^3*a^9*b^6 - 432*B^3*a^10*b^5 - 432*B^3*a^11*b^4 - 2
592*A^2*B*a*b^14 + 1296*A*B^2*a^2*b^13 - 648*A*B^2*a^3*b^12 - 5724*A*B^2*a^4*b^11 + 2808*A*B^2*a^5*b^10 + 9828
*A*B^2*a^6*b^9 - 4203*A*B^2*a^7*b^8 - 7524*A*B^2*a^8*b^7 + 2268*A*B^2*a^9*b^6 + 1980*A*B^2*a^10*b^5 + 144*A*B^
2*a^12*b^3 + 1296*A^2*B*a^2*b^13 + 11232*A^2*B*a^3*b^12 - 5400*A^2*B*a^4*b^11 - 18594*A^2*B*a^5*b^10 + 7767*A^
2*B*a^6*b^9 + 13347*A^2*B*a^7*b^8 - 3972*A^2*B*a^8*b^7 - 2892*A^2*B*a^9*b^6 + 9*A^2*B*a^10*b^5 - 489*A^2*B*a^1
1*b^4 + 12*A^2*B*a^12*b^3 - 12*A^2*B*a^13*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4
- 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b
- 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^
7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 72*B^2*a^2*b^
12 - 72*B^2*a^3*b^11 - 288*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 + 441*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 - 288*B^2*a^8*b^
6 + 288*B^2*a^9*b^5 + 36*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2*a^12*b^2 - 288*A*B*a*b^13 - 12*A*B*a^13*b + 2
88*A*B*a^2*b^12 + 1128*A*B*a^3*b^11 - 1128*A*B*a^4*b^10 - 1650*A*B*a^5*b^9 + 1632*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^
7 - 1008*A*B*a^8*b^6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 192*A*B*a^10*b^4 - 108*A*B*a^11*b^3 + 24*A*B*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15
- a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) + (((4*(4*A*a^21 - 48*A*a^10*b^11 +
24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^
17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 + 24*B*a^11*b^10 - 12*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*b^8 + 48*B*a^14*b^7 + 192
*B*a^15*b^6 - 84*B*a^16*b^5 - 156*B*a^17*b^4 + 72*B*a^18*b^3 + 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a^20*b))/(a^18*b + a^19 -
a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*a^2*1i + A
*b^2*12i - B*a*b*6i)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*
b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b
^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(A*a^2*1i + A*b^2*12i - B*a*b*6i))/(2*a^5))*(A*a^2*1i + A*b^2*12i - B*a*b*6i))
/(2*a^5) + (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^1
2 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*
b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 72*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^1
1 - 288*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 + 441*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 - 288*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5
+ 36*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2*a^12*b^2 - 288*A*B*a*b^13 - 12*A*B*a^13*b + 288*A*B*a^2*b^12 + 1
128*A*B*a^3*b^11 - 1128*A*B*a^4*b^10 - 1650*A*B*a^5*b^9 + 1632*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 - 1008*A*B*a^8*b^
6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 192*A*B*a^10*b^4 - 108*A*B*a^11*b^3 + 24*A*B*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^
6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) - (((4*(4*A*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 21
2*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*
b^3 + 28*A*a^19*b^2 + 24*B*a^11*b^10 - 12*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*b^8 + 48*B*a^14*b^7 + 192*B*a^15*b^6 - 84*B*
a^16*b^5 - 156*B*a^17*b^4 + 72*B*a^18*b^3 + 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6
+ 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) + (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*a^2*1i + A*b^2*12i - B*a*b*6i
)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 -
32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3
*a^13*b^2)))*(A*a^2*1i + A*b^2*12i - B*a*b*6i))/(2*a^5))*(A*a^2*1i + A*b^2*12i - B*a*b*6i))/(2*a^5)))*(A*a^2*1
i + A*b^2*12i - B*a*b*6i)*1i)/(a^5*d) + (b^2*atan(((b^2*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^
2*a^14 + 288*A^2*b^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b
^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^
4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 72*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 - 288*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9
+ 441*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 - 288*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 + 36*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 +
36*B^2*a^12*b^2 - 288*A*B*a*b^13 - 12*A*B*a^13*b + 288*A*B*a^2*b^12 + 1128*A*B*a^3*b^11 - 1128*A*B*a^4*b^10 -
1650*A*B*a^5*b^9 + 1632*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 - 1008*A*B*a^8*b^6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 192*A*B*a^10*b^4
- 108*A*B*a^11*b^3 + 24*A*B*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b
^3 - 3*a^13*b^2) + (b^2*((4*(4*A*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 36
0*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 + 24*B*a^11*b^
10 - 12*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*b^8 + 48*B*a^14*b^7 + 192*B*a^15*b^6 - 84*B*a^16*b^5 - 156*B*a^17*b^4 + 72*B*a
^18*b^3 + 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^1
6*b^3 - 3*a^17*b^2) - (4*b^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^
3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 -
48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^
6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^
13*b^2)))*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*
b^4))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a
^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4)*1i)/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4
- 5*a^13*b^2)) + (b^2*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 - 288*A^2*a
*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*
a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12
*b^2 + 72*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 - 288*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 + 441*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*
b^7 - 288*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 + 36*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2*a^12*b^2 - 288*A*B*a*b^13
- 12*A*B*a^13*b + 288*A*B*a^2*b^12 + 1128*A*B*a^3*b^11 - 1128*A*B*a^4*b^10 - 1650*A*B*a^5*b^9 + 1632*A*B*a^6*
b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 - 1008*A*B*a^8*b^6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 192*A*B*a^10*b^4 - 108*A*B*a^11*b^3 + 24*A*B*a^12*
b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) - (b^2*((4*(4*A*
a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 2
76*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 + 24*B*a^11*b^10 - 12*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*b
^8 + 48*B*a^14*b^7 + 192*B*a^15*b^6 - 84*B*a^16*b^5 - 156*B*a^17*b^4 + 72*B*a^18*b^3 + 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a^
20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) + (4*b^2*tan(
c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6
*B*a*b^4)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^
16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)*(a^
14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*((a + b)^5*(a - b)^5)^(
1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7
*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*
b - 6*B*a*b^4)*1i)/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))/((8*(1728*A^3*b^
15 - 864*A^3*a*b^14 - 7344*A^3*a^2*b^13 + 3456*A^3*a^3*b^12 + 11700*A^3*a^4*b^11 - 4770*A^3*a^5*b^10 - 7829*A^
3*a^6*b^9 + 2326*A^3*a^7*b^8 + 1314*A^3*a^8*b^7 - 11*A^3*a^9*b^6 + 411*A^3*a^10*b^5 - 20*A^3*a^11*b^4 + 20*A^3
*a^12*b^3 - 216*B^3*a^3*b^12 + 108*B^3*a^4*b^11 + 972*B^3*a^5*b^10 - 486*B^3*a^6*b^9 - 1728*B^3*a^7*b^8 + 756*
B^3*a^8*b^7 + 1404*B^3*a^9*b^6 - 432*B^3*a^10*b^5 - 432*B^3*a^11*b^4 - 2592*A^2*B*a*b^14 + 1296*A*B^2*a^2*b^13
- 648*A*B^2*a^3*b^12 - 5724*A*B^2*a^4*b^11 + 2808*A*B^2*a^5*b^10 + 9828*A*B^2*a^6*b^9 - 4203*A*B^2*a^7*b^8 -
7524*A*B^2*a^8*b^7 + 2268*A*B^2*a^9*b^6 + 1980*A*B^2*a^10*b^5 + 144*A*B^2*a^12*b^3 + 1296*A^2*B*a^2*b^13 + 112
32*A^2*B*a^3*b^12 - 5400*A^2*B*a^4*b^11 - 18594*A^2*B*a^5*b^10 + 7767*A^2*B*a^6*b^9 + 13347*A^2*B*a^7*b^8 - 39
72*A^2*B*a^8*b^7 - 2892*A^2*B*a^9*b^6 + 9*A^2*B*a^10*b^5 - 489*A^2*B*a^11*b^4 + 12*A^2*B*a^12*b^3 - 12*A^2*B*a
^13*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (b^2*((a
+ b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 110
4*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7
+ 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 72*B^2*a^2*b^12 - 7
2*B^2*a^3*b^11 - 288*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 + 441*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 - 288*B^2*a^8*b^6 + 28
8*B^2*a^9*b^5 + 36*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2*a^12*b^2 - 288*A*B*a*b^13 - 12*A*B*a^13*b + 288*A*B
*a^2*b^12 + 1128*A*B*a^3*b^11 - 1128*A*B*a^4*b^10 - 1650*A*B*a^5*b^9 + 1632*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 - 10
08*A*B*a^8*b^6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 192*A*B*a^10*b^4 - 108*A*B*a^11*b^3 + 24*A*B*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8
*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) + (b^2*((4*(4*A*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24
*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17
*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 + 24*B*a^11*b^10 - 12*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*b^8 + 48*B*a^14*b^7 + 192*B
*a^15*b^6 - 84*B*a^16*b^5 - 156*B*a^17*b^4 + 72*B*a^18*b^3 + 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^
12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (4*b^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^5*
(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4)*(8*a^19*b - 8*a^
10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a
^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^
9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5
- 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^1
1*b^4 - 5*a^13*b^2)))*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4))/(2*(a^15 -
a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)) + (b^2*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2
+ (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 +
1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 +
74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 72*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 - 288*B^2*a^4*b^10 +
288*B^2*a^5*b^9 + 441*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 - 288*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 + 36*B^2*a^10*b^4 - 72
*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2*a^12*b^2 - 288*A*B*a*b^13 - 12*A*B*a^13*b + 288*A*B*a^2*b^12 + 1128*A*B*a^3*b^11 - 1128
*A*B*a^4*b^10 - 1650*A*B*a^5*b^9 + 1632*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 - 1008*A*B*a^8*b^6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 19
2*A*B*a^10*b^4 - 108*A*B*a^11*b^3 + 24*A*B*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11
*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) - (b^2*((4*(4*A*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*
A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2
+ 24*B*a^11*b^10 - 12*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*b^8 + 48*B*a^14*b^7 + 192*B*a^15*b^6 - 84*B*a^16*b^5 - 156*B*a^
17*b^4 + 72*B*a^18*b^3 + 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a
^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) + (4*b^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^
5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 -
32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*
b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*
a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A
*a^4*b - 6*B*a*b^4))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))*(12*A*b^5 - 12
*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 +
10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2))))*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 +
20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4)*1i)/(d*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2))

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {\left (A + B \sec {\left (c + d x \right )}\right ) \cos ^{2}{\left (c + d x \right )}}{\left (a + b \sec {\left (c + d x \right )}\right )^{3}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)**2*(A+B*sec(d*x+c))/(a+b*sec(d*x+c))**3,x)

[Out]

Integral((A + B*sec(c + d*x))*cos(c + d*x)**2/(a + b*sec(c + d*x))**3, x)

________________________________________________________________________________________